Técnicas de Conteo

Debes recordar la regla principal en las Técnicas de Conteo como lo es la ley de multiplicación:
Si se tienen n elementos de un tipo y m de otro, el número de parejas que se pueden formar tomando un elemento de cada tipo es

mxn.

Las permutaciones, las variaciones y las combinaciones, resultan de la regla de multiplicación.
1) Los Números 1,2,3,...,n se alinean al azar, de manera que hay n! maneras de colocarlos. Calcule el número de parejas en las que los números 1 y 2 aparezcan seguidos y en ese orden.


2) Un mazo de cartas contiene 52 barajas, divididas en cuatro pintas o figuras: diamante, corazón rojo, corazón negro y trébol; cada grupo contiene 13 cartas: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. De un mazo de este tipo se extraen tres cartas en sucesión (una tras la otra) sin reemplazo. Encuentre el número de tripletas (tres cartas) con la pinta de diamante que pueden ser extraídas.
3) ¿Cuántos números impares y con cuatro dígitos distintos existen entre el número 1.000 y el 10.000?

4) ¿Cuántos números impares existen mayores que 999 y menores que 9.999?

5) Con las letras de la palabra PROBLEMAS. ¿Cuántas palabras se pueden formar, si:
a.- comienzan y finalizan en una vocal
b.- comienzan por una vocal y terminan en una consonante?
NOTA: Se entiende por palabra cualquier disposición de todas las letras que forman (tengan o no sentido).



6) Nueve personas van a realizar un paseo utilizando dos vehículos, uno A de 5 personas y el otro B de 4 puestos. Entre las nueve personas hay cuatro damas.
a.- ¿De cuántas maneras diferentes se podrán distribuir las nueve personas en los dos vehículos?.
b.- ¿De cuántas maneras diferentes pueden distribuirse las nueve personas de modo que sólo dos damas ocupen el vehículo B?.
c.- Si se decide que una dama D y un hombre H viajen en el mismo vehículo.
¿De cuántas maneras diferentes se podrán distribuir las nueve personas en los dos vehículos?.
7) Si las repeticiones no se permiten,
a.- ¿cuántos números se pueden formar con tres dígitos con los seis dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9?;
b.- ¿cuántos de estos números son menores que 400 ?;
c.- ¿cuántos de estos son pares?; ¿cuántos impares?;
d.- ¿cuántos múltiplos de 5?.
8)
a.- ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas se pueden sentar en una fila?
b.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar si no se mezclan?
c.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar si las 2 niñas deben permanecer juntas?


Una vez que sabes determinar el número de elementos de un conjunto podrás calcular las probabilidades de los eventos que se te pueden presentar, calculando el número de eventos simples presentes en el espacio muestral y tomando el cociente entre los casos favorables y los posibles.

1) En una caja de una ferretería hay 30 bombillos de los cuales 8 son defectuosos. Se extraen al azar 5 bombillos. Calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
a.- Ninguno de los bombillos extraídos es defectuoso.
b.- Entre los 5 bombillos extraídos hay exactamente uno defectuoso.
c.- En la extracción por lo menos un bombillo es defectuoso.
2) Se escogen al azar cuatro zapatos de un conjunto de cinco pares. ¿Cuál es la probabilidad de que formen por lo menos un par?.

3) En un salón asisten seis parejas de matrimonio.
a.- si se eligen dos personas al azar, hallar la probabilidad de que:
i.- sean casados.
ii.- Una sea hombre y la otra mujer.
b.- Si se eligen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que:
i.- se escojan 2 parejas de casados.
ii.- no exista una pareja de casados entre los cuatro.
iii.- se elija exactamente una pareja de casados entre los 4 elegidos.

4) Una urna A contiene cinco bolas negras y dos bolas rojas. Otra urna B, contiene tres bolas negras y dos bolas rojas. Se traslada una bola de la urna A a la urna B, y a continuación se extrae una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna B, se una bola roja.

5) Un sombrero contiene 20 pedazos de papel de color blanco numerados del 1 al 20; 10 de color rojo numerados del 1 al 10; 40 de color amarillo numerados del 1 al 40 y 10 de color azul numerados del 1 al 10. Si se mezclan vigorosamente estos 80 pedazos de papel de manera que todos tengan la misma probabilidad de ser extraído, determine la probabilidad de ser extraído, determine las probabilidades de tomar un pedazo de papel que sea:
a.- azul o blanco;
b.- numerado 1, 2, 3, 4 o 5;
c.- rojo o amarillo y numerado 1, 2, 3, o 4;
d.- numerado 5, 15, 25 o 35;
e.- blanco y con numeración mayor que 12 o amarillo y con numeración mayor que 26.

6) En una pequeña ciudad, se clasificó a cada persona de acuerdo con su religión y su afiliación a un partido político. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
RELIGIÓN \ PARTIDOS POLITICOS
Demócrata
Republicano
Independiente
TOTAL
Protestante
10.000
8.000
2.000
20.000
Judío
5.500
6.000
500
12.000
Católico
8.500
9.500
1.500
19.500
TOTAL
24.000
23.500
4.000
51.500

Si se elige al azar una persona de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que la persona sea:
a.- republicana?
b.- católica?
c.- protestante y republicana?
d.- católica e independiente?
En ciertos casos uno se puede encontrar con el deseo de multiplicar las probabilidades de dos eventos para encontrar la probabilidad de la intersección de esos eventos, esto solo es posible si los eventos son independientes.
Sean A y B dos eventos cuales quiera, diremos que son independientes si se cumple que:
P(A Ç B)=P(A)P(B)
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La probabilidad de ciertos eventos se ven influenciado por la ocurrencia o no de otros eventos, para el cálculo de estas probabilidades tenemos dos fórmulas importantes:
La Probabilidad Total y El Teorema de Bayes

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Probabilidad Total
Sea B un evento y consideremos a A1, A2, A3, ... , An "n" eventos tales que:
A1 Ç A2 Ç A3 Ç ... Ç An = Æ,
y además,
A1 È A2 È A3È ... È An = W,
entonces:
P(B) = P(A1 ÇB) . P( A2 ÇB) . P(A3 ÇB) ... P(AnÇB)

Teorema de Bayes
Tomando las mismas condiciones anteriores, podemos determinar la probabilidad de un Ai para i = 1...n, dado un evento B, de la siguiente forma:
P(Ai / B) = P(Ai ÇB) / [P(A1 ÇB) . P( A2 ÇB) . P(A3 ÇB) ... P(AnÇB)]
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Ejercicios
Existen experimentos aleatorios ( o modelables aleatoriamente) que siguen ciertos esquemas, pero que cumplen con las mismas condiciones de otro experimentos, lo cual hace que existan distribuciones de probabilidad particulares que pueden ser utilizadas en diferentes experimentos.
Las distribuciones de probabilidad surgen del uso de una Variable Aleatoria (V.A.).
¿Que es una Variable Aleatoria?.
Una Variable Aleatoria no es mas que una función, la cual asocia cada evento del experimento que estemos realizando con un número real, si el conjunto de números que toma la variable es un subconjunto de los Racionales, diremos que la variable es discreta, y en tal caso tiene una Distribución de Probabilidad Discreta asociada; pero si todos los valores que toma la Variable Aleatoria están dentro de intervalo, se dice que la Variable Aleatoria es continua y tiene asociada una Distribución de Probabilidad Continua.